| تبليغات | X |
|
بازی های کامپیوتری-دانلود نرم افزار |
موضوعات
ميخواهيم شما زحمت بکشيد و براي ما ده تن گندم را از شيراز به کرج که فاصله شان از يکديگر هزار کيلومتر است( اينطور فرض کنيد )منتقل نماييد. تنها وسيله ي نقليه اي هم که در اختيارتان خواهيم گذاشت يک شتر است اين شتر ميتواند تا يک تن گندم بر پشت خود حمل کند( تعجب نكنيد) و شب و روز راه برود. بيچاره براي اينهمه کار طاقت فرسا، خيلي هم کم توقع است و براي هر کيلومتر که راه ميرود، فقط يک کيلو گرم از گندمي را که بر پشت خود دارد ميخورد. شما براي ما حساب کنيد ببينيد با چنين شتري حد اکثر چند تن گندم را ميتوانيد در کرج تحويل ما بدهيد.
مدارهاي كامپيوتر طوري تعبيه شده اند كه فقط عمل + را تشخيص داده و انجام مي دهند. و اعمالي مثل تفريق و ضرب و تقسيم را از روش + بدست مي آورند.
حال بررسي مي كنيم چگونه كامپيوتر تفاضل دو عدد را بدست مي آورد.
مثلا عبارت 243 - 396 را وارد مي كنيم كامپيوتر ابتدت متمم 9 عدد دوم را بدست مي آورد. در اين مثال متمم عددي 243 مي شود 756 .
يعني مي گوييم رقم يكان اين عدد با چند جمع شود تا 9 بدست آيد ( با 6 ) - رقم دهگان با چند جمع شود تا 9 بدست آيد ( با 5 ) - رقم صدگان با چند جمع شود تا 9 بدست آيد ( با 7)
حال عدد اولي را با متمم عدد دومي جمع كرده و 1 واحد به آن اضافه مي كنيم .
1153 = 1 + 756 + 396
در آخر رقم سمت چپ جواب را خط مي زنيم ( يعني 1 را ) و عدد باقيمانده يعني 153 جواب تفريق مي باشد.
توجه داشته باشيد ذر اين روش فقط از + استفاده كرديم.
1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .
آيا ميدانيد google به چه معني است؟ Google از کلمه Googol گرفته شده است. Googol هم اسم مستعار يک عدد است که توسط «ميلتون سيروتا» نامگذاري شده است.عدد مذکور «ده به توان صد» است(به بزرگي اين عدد دقت کنيد)
انتخاب گوگل جنبه شعاري دارد.به اين مفهوم که گوگل قصد دارد تا سرويسها و خدمات و اهداف خود را به تمام جهان گسترش دهد.
به عدد «ده به توان ده به توان صد» گوگل پلکس(Googolplex) ميگويند.
و به عدد «ده به توان ده به توان ده به توان صد»گوگل دوپلکس (Googolduplex) ميگويند
توجه داشته باشيد كه عدد گوگول در تمامي كشورها كاربرد دارد . و از اين عدد به عنوان بزرگترين عدد شناخته شده كه داراي اسم مي باشد ياد مي برند.
عدد ۱۹ يکي ار اعداد اولي است که زيبايهاي خاصي دارد از جمله اين زيبايها رابطه اين عدد با آيات قرآن مي باشد با توجه به اين نکات زير در مي يابيم که قرآن از ديدگاه رياضي هم معجزه اي بس عظيم است
*********************
1- اولين آيه قرآن « بسم الله الرحمن الرحيم » داراي 19 حرف عربي است.
2- قرآن از 114 سوره تشكيل شده است و اين عدد به 19 قسمت است. (6× 19).
3- اولين سوره اي كه نازل شده است سوره علق (شماره96) نوزدهمين سوره از آخر قرآن است.
4- سوره علق 19 آيه دارد.
۵- سوره علق 285 حرف (15× 19) دارد.
۶- اعداد كلمات موجود بين دو آيه بسم الله سوره النمل 342(18*19) ميباشد.
۷- قرآن مجيد شامل اعداد بيشماري است .مثلاً : ما موسي را براي جهل شب احضار كرديم ،ما هفت آسمان را آفريديم .شمار اين اعداد در تمام قرآن 285(15*19) ميباشد.
۸- اگر 285 اعداد فوق را با هم جمع كنيم ، حاصل جمع 174591 (9189*19)خواهد بود .
۹- حتي اگر اعداد تكراري را از عدد فوق حذف نماييم حاصل جمع 162146 (8534*19) خواهد بود.
۱۰- سوره قاف كه با حرف ق شروع مي شود (شماره 50 ) شامل 57(3*19) حروف ق است.
۱۱- سوره ديگري در قرآن“ حروف ق را در علامت رمزي خود دارد (سوره شورا شماره 42) كه اگر حروف ق را در اين سوره شمارش نمائيد، ملاحظه خواهيد كرد كه حرف ق 57 (3 * 19) بار تكرار شده است.
۱۲- تنها سوره اي كه با حرف « ن » آغاز ميشود ، سوره قلم است ( شماره 6 ) اين سوره 133 « ن » دارد كه به 19 قابل قسمت است ( 7×19).
۱۳- سه سوره اعراف (شماره 7 ) مريم ( شماره 19 ) و ص ( شماره 38) كه با حروف « ص» شروع ميشوند، جمعاً 152 حرف « ص » دارند ( 8×19).
۱۴- در سوره طه (شماره 20 ) جمع تعداد حروف « ط » و « هـ» 344 ميباشد ( 18 × 19) .
۱۵- در سوره « يس » تعداد حروف « ي » و « س» 285 ميباشد ( 15×19).
۱۶- در سوره هاي شماره 2و3و7و13و19و30و31و32 كه با رمز « الم » شروع ميشوند تعداد حروف الف ، لام ، ميم جمعاً 26676 مورد و قابل قسمت به 19 ميباشند ( 1404*19).
۱۷- در سوره هاي 20و26و27و28و36و42 كه با رمز « طس » يا يكي از دو حرف مزبور (ط ، س) آغاز ميشوند تعداد دو حرف « ط » و «س» 494 مورد ميباشد ( 26*19).
۱۸- در سوره هاي 10و11و12و14و15 كه با رمز « الر» آغاز مي شوند تعدا الف ، لام ، راء به اضافه تعداد ( راء ) تنها در سوره سيزدهم ،9،97 مورد است كه اين عدد قابل قسمت بر عدد 19 مي باشد (511*19).
۱۹- در سوره هايي كه با رمز يكي از حروف “ط“ “س“ و “م“ آغاز مي شوند ، تعداد حروف طاء و سين و ميم 9177 مورد مي باشد (438*19).
۲۰- در سوره رعد ( شماره 13 ) كه با حرف رمزي “المرا“ آغاز مي شود ، تعداد حروف (الف ، لام ، ميم، را ) 1501 مورد مي باشد (79*19).
۲۱- در سوره اعراف (شماره 7) كه با حروف رمزي “المص“ شروع مي گردد تعداد وقوع “الف“ 2572 مورد ، حرف “لام“ 1523 مورد ، حرف “ميم“ 165 و حرف “ص“ 98 مورد كه جمعاً عدد 5358 بدست مي آيد(282*19).
۲۲- در سوره مريم (شماره 19) كه با حروف “كهيعص“ شروع مي شود ، تعداد حروف (كاف ، ها ، يا ، عين ، صاد) 798 مورد مي باشد (42*19).
۲۳- در سوره شورا (شماره 42) كه با حروف “حم عسق “ شروع مي شود ، تعداد حروف (حا ، ميم ، عين، سين ، قاف ) 570 مورد مي باشد(30*19).
۲۴- در سيزده سوره اي كه حرف “الف“ در لغت رمزي آنهاست (سوره هاي شماره 2 ، 3 ، 7 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 29 ، 30 ، 31 ، 32و15 ) جمع الف هاي موجود 17499 مورد مي باشد(921*19).
۲۵- در سيزده سوره فوق الذكر جمع حروف “لام“ 1870 مورد مي باشد(620*19).
۲۶- در هفده سوره اي كه حروف “ميم“ در لغت رمزي آنها ست (سوره هاي شماره 2 ، 3 ، 7 ، 13 ، 32 ، 26 ، 28 ، 29 ، 31 ، 30 ، 40 ، 41 ، 42 ، 43 ، 44 ، 45 ، 46 ) جمع حروف “ميم“ 8683 مورد مي باشد (457*19).
براستي آيا قرآن مجيد معجزه اي بس عظيم نيست!؟
اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقي مي شود. يکي از کاربرد هاي عدد صفر اين است که به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) به کار مي رود. بنابر اين در عددي مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که به طور قطع اين عدد با عدد ۲۱۶ کاملا متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد به کار مي رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده مي کنيم.
هيچکدام از اين کاربرد ها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر به طور واقعي بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعي دارند. به طور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ...به کار مي بردند و در اين گونه مسايل هيچگاه به مساله اي برخورد نمي کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.
بابلي ها تا مدتها در جدول ارزش مکاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول به کار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي که آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده کردند گيومه (") مثلا عدد ۶"۲۱ نمايش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته بايد در نظر داشت که از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدند بلکه هميشه بين دو عدد قرار مي گرفتند. به طور مثال عدد "۲۱۶ را با اين گونه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم که کاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلا به عنوان يک عدد نبوده است.
البته يونانيان هم خود را از اولين کساني مي دانند که در جاي خالي از صفر استفاده مي کردند. اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساسا دستاورد هاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است که رياضيدانان يوناني از اعداد نام ببرند؛ زيرا آنها اعداد را به عنوان طول خط مورد استفاده قرار ميدادند.
البته بعضي از رياضيدانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتي اشاره مي کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ کردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را به کار بردند و قبل از اين که سر انجام عدد صفر جاي خود را به دست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.
هنديان کساني بودند که پيشرفت چشمگيري از اعداد و جدول ارزش مکاني اعداد ايجاد کردند. هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي کردند.
اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسي قرار مي دهيم: اولين نکته اي که مي توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد به طور معمول نمي باشد. از زمان هاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي که از ويژگي هاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممکن شد. هنگامي که فردي تلاش مي کند تا صفر و اعداد منفي را به عنوان عدد در نظر بگيرد با اين مشکل مواجه مي شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل ميکند. رياضيدانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سوالات پاسخ دهند و در اين زمينه نيز تا حدودي موفق بوده اند.
اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکاي مرکزي زندگي مي کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي کردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را به کار مي بردند.
بعد ها نظريات رياضيدانان هندي علاوه بر غرب، به رياضيدانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيوناچي، مهم ترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.
با توجه به شكل 65 با 64 برابر است.
نظر شما درباره اين اثبات چيست
مثلث راستگوشه اي با ابعاد ۵ و ۱۲ و ۱۳ در يک مربع محاط شده است. طول دقيق ضلع مربع يا مساحت آنرا بدست آوريد.
مقدار X را دقیقا بدست اوریدمسئله را در حالت کلي که طول اضلاع مثلث a و b و c باشد نيز حل نماييد و مساحت مربع را بر حسب اين سه پارامتر معلوم سازيد.
پاسخ خودم به این سوال رو می توانید در ادامه ی مطلب بخوانید.
در قسمت آرشيو روشهاي در مورد ضرب ذهني بيان شد. در اين قسمت نيز يك روش فوق العاده سريع بيان ميكنيم.
هرگاه بخواهيم عددي دلخواه را در عدد دلخواه ديگر ( البته تمام ارقامش 9 باشد ) ضرب كنيم . از روش زير مي توان اين كار را انجام داد.
ما با يك مثال اين روش را بيان مي كنيم .
مي خواهيم عدد 247 را در عدد 999 ضرب نماييم.
ابتدا رقم يكانها را در هم ضرب كرده و با فاصله آنها را نوشته و بين آن وپشت آن دو خط تيره رسم مي كنيم .
3--6--
حال به رقم دهگان يك واحد اضافه كرده و آنرا در 9 ضرب كرده و رقم يكان جواب را سمت چپ 3 و رقم دهگان را سمت چپ 6 مي نويسيم.
53-46-
حال نوبت رقم صدگان مي رسد . يك واحد به رقم صدگان اضافه كرده آنرا در 9 ضرب مي كنيم . رقم يكان جواب را سمت چپ 5 و رقم دهگان را سمت چپ 4 مي نويسيم .
246753
بدين ترتيب جواب اين ضرب عدد 246753 مي شود.
جالب اينكه اين روش منسوب به يك پسر بچه 10 ساله مي باشد
اگر اين قسمت را بخوانيد برايتان جالب خواهد بود و بيشتر به رياضي علاقمند مي شويد.
هر عددي دوست داريد در نظر بگيريد ( مثلا عدد 674328 )
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( در اين مثال 6 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 4 است پس داريم 64 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 642 )
هم اکنون عدد 642 را داريم با اين عدد نيز مراحل با لا را تکرار کرده
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 3 است پس داريم 33 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 0 است پس داريم 330 )
حالا براي عدد 330 اين کار را انجام مي دهيم
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 1 است پس داريم 31)
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 312 )
در اين مثال مشاهده نموديم که آ خر به 312 رسيديم
ما ادعا مي کنيم که هر عدد طبيعي با اين روال به 312 ختم مي شود باور نداريد امتحان کنيد.
(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .
تاريخچه ي عدد p :
عدد p (پي) سرگذشتي حداقل 3700 ساله دارد. پي يكي از مشهور ترين عددها در دنياي رياضي است. و نماد p يكي از حروف الفباي لاتين است.ساده ترين و بهترين راه معرفي p اين است :
قطر دايره/محيط دايره = p
در طول اين 37 قرن، دانشمندان زيادي سعي كردند مقدار p را حساب كنند. به عبارت ديگر آن ها سعي كردند تا نزديك ترين عدد به عدد p را به دست آورند.
قديمي ترين محاسبه ي به دست آمده، به 1700 سال پيش از ميلاد مسيح (ع) ، يعني حدود 3700 سال پيش مربوط مي شود. اين محاسبات روي پاپيروسي نوشته شده است كه در حال حاضر، در "مسكو" نگهداري مي شود.
اولين محاسبه ي رياضي p ، توسط ارشميدس و با كمك چند ضلعي ها انجام شد. او با 96 ضلعي منتظم، عدد پي را بين دو كسر 70/10 ‚3 و71/10 ‚3 به دست آورد .(تذكر:علامت / نشانه ي خط كسري است).
"لودلف وان كولن" آلماني ، در قرن هفدهم به كمك 720 ‚254 ‚212 ‚32 ضلعي منتظم، مقدار p را تا 32 رقم اعشار حساب كرد.
"غياث الدين جمشيد كاشاني" معروف به "الكاشي" در كتاب رساله ي محيطيه، p را تا 17 رقم پس از مميز حساب كرده است.
"بهاسيك هندي" در سال 1150 ميلادي، آن را به صورت كسر 7/22 يا جذر 10 نشان داده است.
"جان وايس" رياضي دان انگليسي براي p ، نسبت زير را پيشنهاد كرد:
(...×5×5×3×3×1×1 ) / (...×6×6×4×4×2×2) = 2/p
"لايپ نيتس " آلماني به عبارت زير دست يافت :
...+۱/۱۱-۱/۹+۱/۷-۱/۵+۱/۳-۱=۴/p
در سال 1949 ميلادي، به كمك رايانه ي اينياك ، پي تا 2037 رقم محاسبه شد. به تازگي برادران "چودنوفسكي" با بيش از پنج سال كار مداوم به كمك رايانه، p را تا 1011196691 رقم اعشار حساب كرده اند .
اگر مي خواهيد عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپاريد تعداد حروف كلمات، در بيت دوم اين شعر به شما كمك خواهد كرد :
گر كسي از تو بپرسد ره آموختن p پاسخي ده كه هنرمند تو را آموزد
خرد و دانش و آگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد
۳ . ۱ ۴ ۱ ۵ ۹ ۲ ۶ ۵ ۳ ۵ =۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵
هندسه ی فضايي
مطالعه ي خواص هندسي اشياي سه بعدي امكان مناسبي براي تأكيد بر اهداف اجرايي هندسه فراهم مي آورد. مانند توصيف و دسته بندي، ساختن، كشف كردن و مرتبط ساختن شكل هاي سه بعدي با اشكال دوبعدي.
اگر حجم هاي آماده در اختيار نداريد بايد مدل ها را بسازيد. همچنين بايد به كمك دانش آموزان تان اشياي واقعي را كه داراي شكل هاي هندسي خاصي هستند، نظير توپ، قوطي كنسرو، جعبه هاي مخروطي و مكعبي و اشكال هندسي غير معمول ، جمع آوري كنيد.
توصيف و دسته بندي
بچه ها بايد قادر باشند خواص اشياي سه بعدي را توصيف كنند و تشخيص دهند كه دو يا چند شكل از چه نظر به هم شباهت دارند و يا با هم متفاوتند.توصیف و دسته بندی،روند هایی است که با اضافه کردن خواص جدید تر و پیچیده تر،تغییر می کندو کامل تر می شود.در فعالیت هایی که در زیر ارائه می شود.مجموعه ی دانستنی ها و خواصی را که مناسب دانش آموزان مبتدی،متوسط و پیشرفته است،پیشنهاد می کنیم.
ما اغلب به داتش آموزان فقط نام شکل های هندسی را می آموزیم،اما چیزی که آنان نیاز دارند،نام همراه با مفهوم و معنی است.همچنین باید قدرت تفکیک و تشخیص آنان را تقویت کنیم در این فعالیت ها ما باید مجموعه دانستنی های دانش آموزان را با اضافه کردن کلمات جدید و مناسب شکل دهیم و تکمیل کنیم.
فعالیت1- چند شیء را به بچه ها نشان دهید(یک استوانه ،کره،هرم و ...)سپس یکی از آن ها را تو صیف کنیدواز بچه ها بخواهید که بگویند شما کدام شیء را توصیف کردید.
فعالیت2- دو جسم هندسی را در دست بگیرید و از بچه ها بخواهید که بگویند این دو چه شباهت ها و چه تفاوت هایی دارند.
فعالیت3- سه شیء مختلف مانند استوانه ،مکعب و مخروط تهیه نمایید و از دانش آموزان بخواهید که بگویند کدام یک با دو تای دیگر متناسب نیست و چرا؟
فعالیت4- یک وجه عبارت است از یک سطح جانبی مسطح و صاف. از بچه ها بخواهید که تعداد وجوه اشیاء را بشمارند.
فعالیت5- مدلی از اشیای سه بعدی را به بچه ها نشان دهید و از آنان بخواهید که اشیای واقعی را که شبیه به آن هستند، پیدا کنند.
فعالیت6- بررسی یال ها،رئوس و وجوه : بعد از تعریف یال ،رأس و وجه از بچه ها بخواهید که این چیستان ها را حل کنند:
جسمی هستم با هشت یال،اسم من چیست؟
شش یال و چهار وجه،اسم من چیست؟
پنج گوشه دارم،اسم من چیست؟
تعداد گوشه ها و وجوهم با هم برابر است،اسم من چیست؟
بدون وجه و گوشه هستم،اسم من چیست؟
فعالیت 7- جستجوی اجسام : یک مجموعه ازفعالیت ها را ترتیب دهید که از طریق آن، بچه ها بتوانند اجسامی را مطابق با اندازه، شکل وجوه و طول یال ها جستجو کنند. سوالاتی که باید از بچه ها بپرسیدبستگی به هر جسم دارد.
به عنوان مثال اجسامی را پیدا کنید که :
1- فقط دو وجه هم شکل و هم اندازه (قابل انطباق) دارد.
2- فقط سه وجه هم شکل و هم اندازه دارد.
3- همه ی یال های آن یک طول دارند.
4- یال های آن دارای سه طول متفاوت هستند
منبع:http://math-teachers.blogfa.com
1. sin4+cos4=1-2(sin2×cos2)
2. sin6+cos6=1-3(sin2×cos2)
3. 1-2(sin×cos)=(sin-cos)2
4. tg ×cot =1
5. sec=1/cos → sec2=1/cos2=1+tg2
6. csc=1/sin → csc2=1/sin2 =1+cot2
7. sin2+cos2=1 → sin2=1-cos2 → cos2=1-sin2
8. tan+cot=1/(sin×cos)=sec ×csc
9. sin(a ± b)=sin(a)cos(b)±sin(b)cos(a)
10. cos(a+b)=cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
11. cos(a - b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
12. cos(a - b)×cos(a +b)=cos2a - sin2b
13. sin(a +b)×sin(a - b)=sin2a - sin2b
14. tan(a+b)=( tan(a) + tan(b) ) / ( 1-tan(a)×tan(b) )
15. tan(a - b)=( tan(a) -tan(b) ) / ( 1+tan(a)×tan(b) )
16. cot(a+b)=( cot(a)×cot(b) - 1)/( cot(a)+cot(b) )
17. cot(a - b)=( cot(a)×cot(b) +1)/( cot(a) - cot(b) )
منبع:http://abdenean.blogfa.com
برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی
فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم. دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود. 
باشد آنگاه داریم:
|
نوع هندسه |
تعداد خطوط موازي |
مجموع زواياي مثللث |
نسبت محيط به قطر دايره |
اندازه انحنا |
|
اقليدسي |
يك |
180 |
عدد پي |
صفر |
|
هذلولوي |
بينهايت |
< 180 |
> عدد پي |
منفي |
|
بيضوي |
صفر |
> 180 |
< عدد پي |
مثبت |
4-6 مفهوم و درك شهودي انحناي فضا
سئوال اساسي اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟
پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. بهترين دانشي كا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يك سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيك است. يك صفحه ي كاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم كنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين كرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي كه مثبت شود، ادعا مي كنيم كه صفحه بيضوي است .
در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچگونه مشكلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يك كشور اصول هندسه ي اقليدسي را بكار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي كنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطكش هايي كه در آزمايشگاه يا كارخانه ها ساخته مي شود، استفاده كنيم. حال سئوال اين است كه اگر خطكش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطكش ما تلاش مي كنيم از بهترين ماده ي ممكن استفاده كنيم. بهمين دليل چوب از لاستيك بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما براي مصافتهاي دور نظير فواصل نجومي از چه خطكشي (متري) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خطكشي وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امكاناتي توجه كنيم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امكاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الكترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا كنيم كه فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .
اما تجربه نشان مي دهد كه مسير نور هنگام عبور از كنار ماده يعني زماني كه از يك ميدان گرانشي عبور مي كند، خط مستقيم نيست، بلكه منحني است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.
منبع :http://www.hupaa.com
کوشی فرانسوی، این ریاضیدان پرشور که در سراسر نیمة اول قرن نوزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوریهای زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد و آنالیز را واجد دقتی کرد که هندسه از زمان اقلیدس به بعد افتخار آنرا داشت. وی از سال 1820 تا سال 1830 تئوری توابعی را که دارای یک متغیر موهومی هستند بنا نهاد. این تئوری که امروزه بزرگترین عنوان افتخار او محسوب میشود، دانشمندان بزرگی نظیر ریمان، وشتراس، هرمیت و پوانکاره را بخود مشغول داشت.
علاوه بر مکتب ریاضیات فرانسوی و آلمانی مکتب ریاضیات دیگری وجود داشت و آن مکتب ریاضیات انگلیسی بود که کمکم از تاریکی خارج میشد. از نوابغ بزرگ این کشور ویلیام روون هامیلتون ایرلندی را بایستی نام برد که از لحاظ پیشرسی عجیب بود. در 5 سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را میخواند و ایتالیائی و فرانسوی را در 8 سالگی و عربی و سانسکریت را در 10 سالگی آموخت و در 14سالگی برای سفیر ایران خطابة خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد. این استعداد بیمانند بزودی متوجه علوم گردید بطوری که در 17 سالگی هامیلتون تمام حساب انتگرال را بخوبی میدانست و خسوف و کسوف را بخوبی پیشبینی میکرد و در 22سالگی استاد نجوم گردید. کارهای او بخصوص مربوط به مبحث نور، دستگاههای اشعه و مبحث دینامیک است. وی ملاحظات گاوس را درفضای سه بعدی تعمیم داد و در سال 1843 اولین اکتشاف خود را درباره کوآترنیونها یعنی جبر فضائی که تعمیم جبر گاوس و کوشی میباشد به آکادمی سلطنتی ایرلند تقدیم کرد. تقریباً در همین فکر را نه تنها در مورد فضای سه بعدی بلکه به فضای n بعدی تعمیم داد.
دوپیش درآمد ناگوار در حدود سال 1830 تاریخ علم را تاریک ساخته است. آبل نروژی و گالوای فرانسوی، پس از یک زندگانی بسیار کوتاه و پرهیجان در حالی که نتیجه با ارزش کشفیات اساسیشان شناخته نشده بود با رنج و مرارت درگذشتند.
نیل هنریک آبل متولد اوت 1802 در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال 1825 به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقالهای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفهای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.
آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل 1829م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمیدانست که دو سال پیش مرده است.
گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحهای اندوهبار گشوده است در 26 اکتبر 1811م در پاریس متولد شد. در 14 یا 15 سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل مینمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات سیاسی شد، او عقیده داشت:
«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»
گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیزتر از شب 29ماه مه 1832وجود نداشته باشد.
گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال سادهتر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار میرود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی میباشد که دارای آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و«خواص تصویری اشکال» میباشد. اکتشافات پونسله باعث ترقی عظیمی در هندسه جدید گردید. وی برای اولین بار عوامل موهومی را در هندسه دخالت داد و تعبیر کرد و گذشته از آن پونسله «اصل ثنویت» و طریقة تعاکس را فراهم آورد و طریقة اخیر خود به خود هرگونه اکتشاف جدید را مضاعف مینماید: در حیقیقت به موجب این اصل تمام احکام هندسه تصویری دو بدو وابسته به یکدیگرند و برای رجوع از یکی به دیگری کافیست که در احکام قضایا عمل نقطه و خط را با یکدیگر عوض نمائیم. همچنین لازارکانو فرانسوی را باید نام ببریم که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت اساسی میباشد.
لازار که تمام کوشش خود را برای آزاد کردن هندسه از قید آنالیز بکار میبرد دارای آثاری نظیر «هندسه وضعی» و «مطالعات دربارة نظریة موربات» میباشد که در پیشرفت هندسه ترکیبی که همان باقیماندة هندسه قدما میباشد مؤثر واقع شد. این هندسه که از زمان دکارت به بعد مورد توجه واقع نشده بود در نتیجة اکتشافات او و نیز کشفیات پونسله و شال فرانسوی آبروی جدیدی یافت و ترقیات شگرفی نمود.
میشل شال هندسه مطلق را با اعلیترین درجة هنر و استادی و با منتهای ظرافت و زیبائی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. هدف اصلی او این بود که مسائل هندسه را بدون کمک محاسبه مطالعه نماید.
شال در سال 1834 افکار خود را در کتابی به نام «چشم انداز تاریخی» منتشر کرد که به دریافت جایزهای از آکادمی بلژیک موفق شد و شهرتی فراوان کسب کرد و در اواخر عمر تئوری «مشخصات» را اختراع کرد که از طرف جامعة سلطنتی انگلستان به اخذ جایز نایل گردید.
در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان نابغة روس نیکلای ایوانویچ لوباچوسکی استاد دانشگاه قازان با شجاعت تمام مطرح نمود که: اصل اقلیدس نتیجه منطقی سایر اصول هندسه نیست و بنابراین خود را درباره «هندسه غیر اقلیدسی» به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد. در این هندسه قبول شده است که از هر نقطه واقع در خارج یک خط بینهایت خط عبور میکند که آن را قطع نخواهد کرد. به این ترتیب لوباچوسکی این فکر را که هندسه اقلیدسی همچون آیات آسمانی حقیقت مطلق است از میان برد و این کار قدرت فکری بیمانند و جرأت علمی حیرت آوری لازم داشت که نتایج آن تا ایام ما نیز روز به روز ظاهر میشود.
بدون شک، تردید لوباچوسکی دربارة حقیقتی که بیست و یک قرن تمام مورد تصدیق همة جهانیان بود یکی از نتایج انقلابات سیاسی و اجتماعی است که در آنوقت تمام اروپا را تحت تأثیر قرار داده بود. تقریباً در همان زمان ریاضیدان بزرگی درکشور مجارستان که تا آن موقع خارج از جریان ترقیات علمی بسر میبرد پیدا شد که همان نتایج ریاضیدان بزرگ روسی را بدست آورد. این شخص ژان بولیه بود که اثر خود را تحت عنوان «مطالعات مقدماتی در اصول ریاضیات مطلق» دربارة هندسه غیر اقلیدسی در سال 1832 انتشار داد.
وی نیز همچون لوباچوسکی ایمان و اعتقاد قطعی به هندسه اقلیدسی را باطل دانست و راه را برای ریمان آلمانی باز کرد که بیست و دو سال بعد از این تاریخ با قدرت بیمانندی فتوحات دو دانشمند متقدم خود را توسعه داد.
آن هندسه غیراقلیدسی که ریمان عرضه داشت دارای مفهومی به مراتب وسیعتر از آنچه که بولیه و لوباچوسکی در نظر داشتند میباشد.
بعد از او نوبت به ریاضیدان روسی پانتونی چبیچف استاد دانشگاه سنپطرزبورگ رسید و از آن پس کرونکر پر وسی وارد این صحنه گردید. وی با توسعة قلمرو قدیمی اعداد جبری – اعدادی که میتوانند ریشة یک معادلة جبری با ضرایب صحیح یا کسری باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیر اقلیدسیها دربارة علم هندسه بود.
چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایدهآل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسألهای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد.
در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری میباشد.
وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی میباشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سریهای کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت.
هرمیت فرانسوی نخستین کسی است که توابع بیضوی را برای حل معادلات درجة پنجم به کار برد و مطالعات بسیار مشکلی دربارة حساب عالی نمود. همچنین هرمیت اصم بودن عدد پی را که در ریاضیات اهمیت بسیار دارد ثابت کرد.
از سال 1870 محصول و نتیجة ریاضیات با عدة پژوهندگان و مکتشفین در هر کشور اروپائی رو به فزونی نهاد و اتازونی که در آغاز قرن نسبت به مطالعات تکنیکی گوشهگیر بود به نوبة خود وارد در راه جستجوهای تئوریکی شد. دو دانشمند نابغه یکی ژرژکانتور و دیگری هانری پوانکاره تحولات این دوره را هدایت و راهنمایی مینمودند.
ژرژکانتور ریاضیدان آلمانی که در روسیه تولد یافته بود با نبوغ توأم با جسارت خود در ربع آخر قرن نوزدهم و در فاصلة سالهای 1882 تا 1897 با وضع «فرضیة مجموعهها» اساس هندسه اقلیدسی را که اصول موضوعة آن قریب دو هزار سال علم ریاضی را مهار کرده بود و ریاضیدانان برجستهای نظیر لوباچوسکی، بولیه و ریمان در آن خللهائی پدید آورده بودند چنان در هم کوفت که در حال حاضر رویش اقلیدسی جای خود را به روشی جدید بر اساس فرضیة مذکور داده است و گمان میرود که درک مفاهیم ریاضی با اعمال این روش سهلتر و قطعیتر از آن است که اقلیدس تصور میکرد.
کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:
1. مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی که دارای صفت ممیزة مشترک باشند. هر یک از آن اشیاء را «عنصر» مجموعه میگویند.
2. مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی مشخص و متمایز ولی ابتکاری و تصوری.
از نقطة نظر تشکیل مجموعهها تعاریف مذکور را میتوان در یک «اصل کلی» خلاصه کرد و آن تشکیل مجموعهای است که اشیاء و عناصر آن دارای خاصیت مفروضی باشند.
هنری پوانکاره یا «غول فکر ریاضی» آخرین دانشمند جهانی است که به همة علوم واقف بود و در واقع عبارت از ماحصل تمام کوششهائی بود که در قرن نوزدهم دربارة ریاضیات بعمل آمد. وی در تمام رشتههای ریاضی نظری و عملی نبوغ خود را ظاهر ساخت و به حل بسیاری از مسائل پیچیده و مشکل موفق گردید. پوانکاره صاحب سی جلد کتاب و پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کلاً مختلف میباشد. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی «توابع فوشین» را به دنیای دانش تقدیم نمود و برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاً ریاضیدان آلمان لازارفوکس کشفیات زیبائی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی بکار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیز روشن ساخت. اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاً آنرا «تحلیل تواضع» مینامیدند و امروزه موسوم به «توپولوژی جبری» و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد. همچنین پوانکاره آنالیز را در مبحث نور و الکتریسته بکار برد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را بدست داد.
بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی میتاگ لفلر کارهای او ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد.
پیکارد هنوز بیش از بیست و چهار سال نداشت که با انتشار اثر خود درباره «توابع درست» در بین ریاضیدانان اروپا شهرت بسیار کسب کرد. در این اثر دو قضیة جدید دربارة توابع متغیر موهومی ذکر کرده و نظر بدیعی اختیار نموده بود، که نهضت جدیدی در ریاضیات ایجاد میکرد. وی در آنالیز روشی ابداع کرد که بوسیلة آن ممکن است بتدریج به جواب قطعی یک مسأله نزدیکتر گردید.
در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید.
اکنون ریاضیدانان فرانسوی تنها به پرورش سنن کوشی واپرواشتراس اکتفا نمیکردند بلکه اکتشافات مهم گائوس دربارة مورد استعمال آنالیز در هندسه یعنی هندسه عناصر بینهایت کوچک را نیز اصلاح میکردند. برجستهترین ریاضیدانی که در این راه کوشش بسیار کرد ژوزف برتران است که دورة عظیم «حساب دیفرانسیل» را تألیف کرد و ضمن آن روش جدیدی برای مطالعة منحنیات و سطوح بدست داد.
پس از او گاستون داربو کارهای بزرگ او را ادامه داد. وی در صدد برآمد دو رشته مخالف یعنی هندسه و آنالیز ریاضی را با یکدیگر آشتی دهد. و موفق شد که نه تنها قسمتهای مقدماتی آنالیز بلکه معادلات با مشتقات جزئی را نیز در هندسه وارد سازد. داربو نتایج حاصل را در کتاب بزرگی به نام «دروسی درباره تئوری عمومی سطوح» که کلاسیک شده است انتشار داد.
چندی بعد ریاضیدان فرانسوی کامیل ژوردان به پیروی از کارهای کروتکر دربارة تئوری گروههای گلوا کتابی در این باره انتشار داد که از لحاظ انتشار موضوع دارای اهمیت فوقالعاده میباشد بطوری که تئوری گروهها همچون کلید سحرآمیزی به نظر میرسید که با نهایت استادی دستگاه دقیق و ظریف معادلات جبری را میگشود و در ساختمان آن آنقدر هنر به کار رفته بود که در عین حال در مسائل هندسی نیز مورد استفاده قرار میگرفت، و این کار در سال 1871 به کوشش ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین صورت گرفت.
پل پنلوه یکی دیگر از ریاضیدانان فرانسوی مسائل زیادی راجع به معادلات دیفرانسیل حل کرد و موارد استعمالی که بعدها در مکانیک برای آن یافت کاملاً جنبة کلاسیک پیدا کرد، و در همه جا تدریس میشود.
همچنین در نتیجه مساعی پنلوره و پیشقدمان او بود که مکانیک بصورت علمی کامل و جامع درآمد.
ویتوولترا ریاضیدان برجستة ایتالیائی درسال 1896 معادلات انتگرال را کشف کرد و وسیلة پژوهش جدیدی بدست صنعتگران فیزیک ریاضی داد و سپس درصدد برآمد موضوع را تعمیم دهد و آنالیز جدیدی اختراع کند که دیگر از مقادیر Y و X و غیره بحث ننماید، بلکه بطور کلی توابع را در روابط وارد سازد. این اختراع جدید که «حساب توابع» نام داشت تاج سر علوم ریاضی از عهد عتیق تا زمان حال بود و در حقیقت نقطة انتهائی این تکامل محسوب میشد.
در اوایل قرن بیستم ماکس پلانک آلمانی و نیاز بوهر دانمارکی کوانتا را در اتم بکار بردند و طولی نکشید که نخستین فتح این تئوری ظهور کرد و آن تئوری مشهور آلبرت انیشتین آلمانی بود که معمولاً تئوری نسبیت خوانده میشود.
داوید هیلبرت آلمانی که از بزرگترین ریاضیدانان نیمة اول قرن بیستم و در عداد بزرگترین ریاضیدانان تمام تاریخ بشر محسوب میشود در سال 1899م کتابی به نام «اصول اساسی هندسی» انتشار داد که هدف آن مربوط کردن اصول موضوعة هندسه به اصول حساب برای جلوگیری از تناقضات بود.
ابداعات این مرد بزرگ در تمام شعب ریاضی اعم از جبر و هندسه و آنالیز و توپولوژی و حساب و غیره آنقدر اساسی و مهم است که شاید تا صدها سال دیگر نیز ریاضیدانان از گنجینههای آن بهرهبرداری کنند.
متأسفانه این دانشمند نامی که یهودی هم نبود در 81 سالگی بواسطه زجر و شکنجة عمال هیتلر در یکی از اردوگاههای اسیران جنگی درگذشت.
هنری لوبگ فرانسوی نیز یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ نمیه اول قرن بیستم است. وی درباره انتگرال مفهوم جدیدی بدست داد که از نظر عادی آنالیز را بکلی تغییر میداد. مسألة اندازهگیری «آنسامبل»ها و تئوری انتگرال لوبگ از اساسیترین ترقیات دانش در نیمة اول قرن بیستم میباشد.
بطوری که میتوان گفت بسیاری از ترقیات مهم آنالیز ریاضی و تئوری توابع و حساب احتمالات و آمار ریاضی و حتی دانش فیزیک مرهون این ابداع مهم میباشد.
موریس دوکانی ریاضیدان دیگر فرانسوی شعبه جدید هندسه به نام نوموگرافی را که ابتدا بوسیلة ریاضیدان ایتالیائی لوئیجی کرهمونا ایجاد شده بود فوقالعاده بسط داد.
این حکمت جدید که برای دانشمندان و مهندسین فواید بیشمار دارد نمودارهای سادهای را که برای نمایش قوانین عادی بکار میرود تعمیم میدهد و استعمال آباکها را جانشین محاسبات عددی طویل و پیچیده مینماید و امروزه در علم مساحی و فنون مهندسی و نقشهبرداری و هواپیمایی و توپخانه مورد استعمال یافته است.
انتشار و ترویج تحصیلات جدید در نیمة اول قرن بیستم سبب آن شد که اتازونی از لحاظ پیشرفتهای علمی در رأس همة کشورها قرار گیرد و ترقیات شگرفی در زمینة علوم تجربی نصیب کشورهائی نظیر هند و ژاپن گردد.
با وجود این تمام تئوریهای بزرگ از قبیل کوانتا، نسبیت و مکانیکموجی از اروپای کهن یعنی کشورهای ایتالیا، انگلستان، فرانسه و آلمان سرچشمه میگیرد و در نتیجة رهبری ایشان بود که تجسسات علمی از حدود این کشورها تجاوز کرد و بینالمللی گردید. لیکن بعد از جنگ جهانی دوم نهضت بزرگ برای پیشرفت مسائل نظری در ممالک متحدة آمریکای شمالی بوجود آمد و بخصوص در دانش ریاضی که مبنا و اساس تمام علوم نظری و عملی است فعالیت خارقالعادهای میشود، بطوری که این فعالیت در هیچیک از ممالک دیگر وجود ندارد و تنها کشوری که از این لحاظ با ممالک آمریکای شمالی رقابت فشردهای داشت (اتحاد جماهیر شوروی) سابق بود که آن نیز کشوری جدید و غیر از اروپای کهن بود.
امروزه ریاضیات بیش از پیش و به نحو شگرفی در حریم سایر علوم نفوذ کرده است و نه فقط علوم نجوم و فیزیک و شیمی تحت انضباط آن درآمدهاند بلکه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.
پس از سالها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمیپیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضیهایی حرکت میکنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد.
همچنین وی در نخستینبار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت.
قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزهآسا است. از فعالترین دانشمندان این قرن کشیشی پاریسی بود بنام مارن مرسن که میتوان وی را گرانبهاترین قاصد علمی جهان دانست. این شخص اطلاعات لازم را به دانشمندان میداد و به ملاقات ایشان میرفت و هر هفته آنان را در کلبه خود جمع میکرد و وسیله تبادل افکارشان را فراهم میساخت. و حتی برای اینکه بتواند آثار علمای مزبور را منتشر کند، شخصاً چاپخانهای تهیه کرد و رابط مابین گالیله،دکارت،فرما و دیگران شد. به مدد همین اجتماعات بود که کولیر توانست آکادمی علوم پاریس را در سال 1666 تأسیس کند.
در سال 1609گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس میکرد. وی یکی از واضعین مکتب تجربی است.
مخالفت او با اصول ارسطو اشکالات بزرگی برای وی تولید کرد و میدانیم که در سال 1663 وی در سن هفتاد سالگی در برابر دادگاه تفتیش عقاید حاضر شد و چون بعد از کوپرینک اول کسی بود که حرکت زمین را به دور خورشید تأیید کرد محکوم گردید. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف کرد و آن عبارت است از ازدیاد سرعت در هر ثانیه و همچنین قوانین حرکت گلوله روی سطح افقی و سطح شیبدار نیز مطالعه نمود. گالیله موفق به اختراع دوربینی گردید که هنوز هم نام او را همراه دارد.
در همان اوقات که گالیله نخستین دوربین خود را به سوی آسمان متوجه نمود در 31 مارس 1596در تورن فرانسه رنه دکارت بدنیا آمد.
وی به زودی با مارن مرسسن که یکی از همکلاساش بود دوست شد و پس از یکدوره فعالیتهای نظامی و مسافرتهای متعدد به پاریس و هلنددر سال 1650 درسوئد زندگی را بدرود گفت. دکارت در میان همه کارهایش از عرضه نمودن افکار فلسفی خود در روابط بین انسان و طبیعت غفلت ننمود. کتاب وی به نام دیوپتریک که موضوع آن مسائل مربوط به مبحث نور بویژه انکسار میباشد جزو برجستهترین آثار اوست.
نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پول گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذکر کرد. شهرت وی بخصوص بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا میباشد و در کتابی به نام «مرکز ثقل» ذکر شده است.
دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پییردوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است که در سال 1601 در بومون دوکانی متولد شد و در 1665 در کاستر درگذشت.
وی مطالعات عمیق و جالبی درباره ریاضیات مطلق و نور کرد. یکی از برجستهترین آثار او «تئوری اعداد» است که وی کاملاً بوجود آورنده آن میباشد. در هندسه، فرما در همان زمان دکارت و مستقل از او مبانی هندسه تحلیلی را کشف کرد، گذشته از آن وی از دکارت نیز تجاوز نمود و اولین کسی است که این علم را در مورد فضای سه بعدی بکار برد.
تجسمات رفیع و استادانه او در حساب عالی است تا جائی که استدلال بعضی از قضایای او فقط یک قرن بعد بوسیله کسانی از قبیل اولرولاگرانژ باز یافته شد و یکی از قضایای او را حتی امروز نیز نتوانستهاند ثابت کنند.
ریاضیدان بزرگ دیگری که در این قرن به خوبی درخشید ژیرار دزارک فرانسوی میباشد که بیشتر به واسطه کارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافته بود. دزارک در هندسه آثاری ارزشمند دارد ومیتوان گفت که وی راه به سوی آنچه که «هندسه جدید» نامیده میشود بازکرد. او نخستین کسی است که درباره اشکال هندسی تنها به روابط متری مابین کمیات اکتفا نکرد و خواص تصویری را نیز در نظر گرفت و هندسه وضعی را پدید آورد.
و بالاخره ریاضیدان دیگر فرانسوی یعنی روبروال را باید نام ببریم که بواسطه ترازوی مشهوری که نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم کمکم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بینهایت کوچک در تاریکی و ابهام بوجود آمد و رفتهرفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید و فکرها را بدان سوی متوجه ساخت. این نکته را نیز بایستی متذکر شد که مرکز ثقل علمی اروپا تغییر کرده بود:ایتالیا که مدتهای مدید درخشیده بود کمکم به خاموشی میگرائید. آلمان بلافاصله بعد از کپلر دچار جنگهای سی ساله شد و دیگر تا هنگام درخشیدن لایب نیتس گفتگوئی از آن در میان نبود.انگلستاندر انتظار پیدایش موجود مافوق بشری همچون نیوتن بود و کشور هلند به انتظار هویگنس تنها به تربیت مردان علاقمند و متبحر اکتفا میکرد. در این احوال کشور فرانسه اولین مقام علمی را اشغال کرده بود. کدام کشور میتوانست مدعی وجود کسانی همچون دکارت،فرما، دزارک ، روبروال و پاسکال باشد.
بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما یکی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز میتوان ارزش او را در علم فیزیک برابر گالیله دانست. او هنگامی که هنوز آنقدر کم سن بود که خط راست را میله و دایره را گردی مینامید بدون آنکه هرگز کتاب هندسهای دیده باشد بسیاری از احکام سی و دو قضیه اولیه اقلیدس را خود به خود کشف کرده بود. درسن شانزده سالگی کتابی درباره مقاطع مخروطی نوشت و هنوز یکی از قضایای آن به نام او مشهور است، همچنین در هیجده سالگی یعنی در سال 1641 نخستین ماشینحسابرا اختراع کرد که هنوز در کنسرواتوار صنایع و مشاغل محفوظ است.
درایتالیا آثار کاوالیری فصل جدیدی در هندسه بوجود آورد. وی در سال 1629 ایدهآلهای ارشمیدس را تحت عنوان «هندسه غیر قابل تقسیمها» دنبال نمود و در 1635 نیز کتابی به همین نام انتشار داد. طبق نظر او هریک از اجزاء مرتباً تقسیم بدو میشدند و بینهایت کوچک میگردیدند. همچنین اولین جستجوهای مربوط بهحساب بینهایت کوچکها از اوست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق و کنجکاوانهای دنبال شد. سه نابغه فناناپذیر این دوره یعنیاسحاق نیوتنانگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن کرده بودند.
اسحاقاسحاق نیوتن روز چهارم ژانویه سال 1643 در وولسی تورپ واقع در ناحیه لینکولشایر متولد شد و در بیستم مارس 1827 در گذشت. وی در هیجده سالگی جزو شاگردان مجانی وارد دانشگاه کمبریج شد و در آنجا ابتدا آثار اقلیدس و سپس هندسه دکارت را مطالعه کرد. در سال 1673 با کتاب هویگنس بنام «درباره نوسان ساعتها» که برای اولینبار اصول مکانیک آسمانی را شامل بود آشنائی یافت. مسلماً این کتاب موجب تقویت افکار او درباره قانون جاذبه گردید و کمکم میخواست او را بستوه آورد. در این هنگام وی تصمیم گرفت افکاری را که تا آنروز در مغز خود محفوظ داشته بود روی کاغذ آورد و بنا بر این از سال 1684 به نوشتن کتاب «اصول» مشغول شد. وی تحت عنوان «حسابفلوکسیونها» روش نوینی برای پیشرفت حساب بینهایتکوچکها ایجاد نمود که باعث ترقی و توسعه علمالقوا یا دینامیک گردید.
لایپ نیتس در سوم ژوئیه سال 1646 یعنی سه سال بعد از تولد اسحاق نیوتن در شهر لایپزیک آلمان چشم به دنیا گشود. وی درهمه بخشهای معارف بشری مطالعات عمیق کرد، و در همه آنها مطالب درجه اولی کشف نمود. ریاضیات، حقوق، مذهب، سیاست، تاریخ، ادبیات، منطق، مابعدالطبیعه و فلسفه هریک پس از دیگری توجه او را جلب کرد. در سال 1684 با انتشار مقالهای درباره حساب عناصر بینهایت کوچک انقلابی برپا کرد. وی در این مقاله یک منحنی را مرکب ازبینهایت پارهخط راست که هریک بینهایت کوچک بودند فرض کرده بود و اگر میخواست کمیتی مثل حرارت را مورد مطالعه قرار دهد که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر میکرد چنین تصور میکرد که این تغییرات تشکیل یافته است از مجموع بینهایت تغییرات کوچک، و این تغییرات جزئی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. با کشف دیفرانسیل وسیله جدیدی برای تحقیق آنالیز بوجود آمد. ورود آنالیز عناصر بینهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم طوفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد و به آن صورت جدیدی بخشید.
هویگنس در 14 ماه آوریل 1629در شهر لاهه متولد شد. وی در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با اسحاق نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در بسط و توسعه علوم دقیقه روشن گردد. همچنین هویگنس دست به اصلاح ساعت زد و به این منظور دنباله تجسسات گالیله را گرفت.
در قرن هیجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. تمام جهد و کوشش دانشمندان مصروف این میشد تا با وسایل جدید نتایج کشفیات اساسی متقدمین را توسعه دهند.
در اوایل این قرن موارد استعمال حساب بینهایت کوچکها در منحنی ها و رویه ها کشف گردید و همچنین حساب احتمالات تکمیل شد، باضافه کشفیات سرشار اسحاق نیوتن درباره مکانیک آسمانی که مدتی بدون انعکاس ماند مخصوصاً به کمک دانشمندان فرانسوی بسط داده شد.
دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک بکار برد و از روشهای آن استفاده کرد و احکامی را که تا آنزمان فقط جنبه استنتاجات هندسی داشت به معادله گذارد ومبنای تمام این بنای عظیم فقط اصل سادهای بود، دالامبر با خود گفته بود: وقتی که جسمی حرکت میکند دلیل برآنست که نیروئی بر آن وارد میشود، بنابراین حتماً مابین این نیروها و تغییراتی که در حرکت ایجاد میشود تساوی یا تعادل وجود دارد، به عبارت دیگر گوئی که جسم با وجود حرکت در حال تعادل است.
کلرو رقیب او در 18 سالگی کتابی بنام «تفحصات درباره منحنیهای دوانحنائی» انتشار داد و در مدت شانزده سال رسالهای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب جالب توجهی مخصوصاً در اطراف مکانیک آسمانی و هندسهبینهایتکوچکها بود.
در اواسط این قرن هویگنس و نیوتون درباره معماری نور به موشکافی پرداختند.
اسحاق نیوتن در ضمن آزمایشهای خود به این نتیجه رسید که نور سفید تمام انوار مختلف را شامل است وبرای امتحان صحت این موضوع اشعات رنگین مختلف را با هم مخلوط کرد و از مجموعه آنها نور سفید بدست آورد و برای اینکه استدلال خود را قوی سازد دستهای از نور سفید حاصل را روی تیغه باریکی انداخت و یک سلسله حلقههای رنگین بدست آورد که نام حلقههای اسحاق نیوتن روی آنها مانده است.
ریاضیدانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوقالعادة آنالیز ریاضی عناصر بینهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد.
منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار میکرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد.
آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد.
همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس میکوشیدند میتوان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهای آلمان فرار کرده بودند.
ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس میکرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم میداد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد.
دیگر لئونارداولر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است که در 15 آوریل 1707م در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783م در روسیه درگذشت.
در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال 1789م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد.
ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوههای شیرین دوران انقلاب را میچیدند.
لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در 19 سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار میگرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال 1788م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار میآید. همچنین در سال 1797م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام میکرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» مینامید در دهم آوریل 1813 در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت.
لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (1812) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (1814) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال 1799تا سال 1825 کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد.
گاسپارمونژ، این ریاضیدان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش میدهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح مینمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت 15 سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بینهایت کوچکها را در فضای سهبعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضیدان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد.
ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سریهای مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد.
یکی دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنیپوآسون (1840_ 1781) فرانسوی و شاگرد لاپلاس میباشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات کرد. وی تئوریهای مهم اولر، لاگرانژ و لاپلاس را در مورد جاذبة اسحاق نیوتنی که به تئوری پتانسیل مش
کل نمایش: 
| 
نوشته شده در دوشنبه 
نوشته شده توسط سعید